1. Por que a Distribuição Binomial Não se Aplica?
A distribuição binomial assume que a probabilidade $p$ de sucesso é estritamente constante em cada ensaio independente (amostragem com reposição). No entanto, quando a primeira bola é extraída do globo de 25 bolas da Lotofácil, restam 24 bolas; na segunda extração restam 23, e assim sucessivamente até a 15ª bola.
Para modelar adequadamente essa partição de uma população finita $N = 25$ em dois subconjuntos disjuntos (as $15$ dezenas sorteadas e as $10$ dezenas não sorteadas), a matemática utiliza a Distribuição Hipergeométrica.
2. A Formulação Matemática Geral
Seja $N = 25$ o tamanho total da população, $M = 15$ o número de dezenas sorteadas no concurso oficial, $n$ o número de dezenas marcadas no bilhete ($15 \le n \le 20$), e $k$ o número de acertos desejado ($11 \le k \le 15$). A probabilidade exata é calculada como:
3. Exemplo Prático: Cálculo de 14 Acertos em Aposta Simples (15 Números)
Aplicando a fórmula para $n = 15$ e $k = 14$:
Isso prova rigorosamente por que a probabilidade oficial da Caixa para 14 pontos em aposta simples é de exatamente 1 em 21.792.
4. Matriz de Multiplicação de Prêmios em Apostas Múltiplas
Ao marcar 18 dezenas em um único volante, se o apostador acertar 14 dezenas sorteadas ($k=14$), o cálculo combinatório demonstra que ele não receberá apenas 1 prêmio de 14 pontos, mas sim:
- Prêmios de 14 pontos: \binom{14}{14} \times \binom{4}{1} = 1 \times 4 = 4 prêmios de 14 acertos.
- Prêmios de 13 pontos: \binom{14}{13} \times \binom{4}{2} = 14 \times 6 = 84 prêmios de 13 acertos.
- Prêmios de 12 pontos: \binom{14}{12} \times \binom{4}{3} = 91 \times 4 = 364 prêmios de 12 acertos.
O sistema de auditoria do JunoLoto implementa essa matriz hipergeométrica determinística em Python para conferir com precisão cirúrgica o retorno financeiro de qualquer combinação de 15 a 20 números.
